MAB4 Testi 2.1

Suositeltava osaamistaso: 
85%

Santtu lähtee pururadalle juoksulenkille. Lenkin aikana hän pysähtyy harjoittelemaan ulkokuntosalille ja jatkaa sen jälkeen matkaa.

a) Kuinka pitkän lenkin Santtu tekee?

b) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) ensimmäisen 20 minuutin ajan?

c) Kuinka kauan Santtu viipyy ulkokuntosalilla?

d) Kuinka pitkän matkan Santtu juoksee ulkokuntosalilla käynnin jälkeen?

e) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) koko lenkin aikana, jos pysähdystä ulkokuntosalilla ei oteta huomioon? 

Pisteytysohje: 

a) Lenkin pituus on 7 km. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

b) Santtu kulkee ensimmäisen 20 minuutin aikana 2 km. Muuten aika tunneiksi: $20\text{ min} = \frac{20}{60}\text{ h}=\frac{1}{3}\text{ h}$.

Lasketaan keskinopeus: $\frac{2 \text{ km}}{\frac{1}{3}\text{ h}}=6\text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

c) Santtu ei etene aikavälillä 20 - 40 min, joten hän on ulkokuntosalilla $40 \text{ min} - 20 \text{ min}=20 \text{ min}$.$\color{Red}{\text{(+1p)}}$

d) Ulkokuntosali sijaitsee 2 km päässä aloituspaikasta ja koko lenkin pituus oli 7 km, joten ulkokuntosalin jälkeen matkaa on jäljellä $7 \text{ km} - 2 \text{ km} = 5 \text{ km}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

e) Santulla menee koko lenkkiin aikaa 80 minuuttia, josta hän on pysähdyksissä 20 minuuttia. Siten Santtu juoksee $80 \text{ min}-20 \text{ min}=60 \text{ min} = 1 \text{ h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

Koska lenkki oli 7 km pitkä, on Santun keskinopeus koko matkalla $\frac{7 \text{ km}}{1 \text{ h}}=7 \text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Määritä kuvaajan perusteeella

a) funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä $[1, 2]$.

b) funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=3$.

c) funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=0$.

d) ne muuttujan arvot, joilla funktion hetkellinen nopeus on sama kuin c)-kohdassa.

Pisteytysohje: 

a)Keskimääräinen nopeus saadaan määritettyä suoraan pisteiden $(1,3)$ ja $(2,5)$ koordinaateista:

 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-3}{2-1}=\frac{2}{1}=2\) $\color{Red}{(+1½\text{p)}}$

TAI

 

Piirretään jana välille $[1,2]$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$ ja määritetään sen kulmakerroin.

\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{1}=2\)

Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä $[1, 2]$ on siis 2.$\color{Red}{\text{ (+1p)}}$

b) Hetkellisen muutosnopeuden määrittämistä varten pitää funktiolle piirtää tangentti kohtaan $x=3$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$:

Määritetään tangentille kulmakerroin:

\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1-7}{4-2}=\frac{-8}{2}=-4\)

Funktion hetkellinen nopeus, kun $x=3$, on siis $-4$. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$

c) Piirretään funktiolle tangentti kohtaan $x=0$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$:

Koska tangentti kulkee vaakasuoraan, sen kulmakerroin on 0, joten siis hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=0$ on 0. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$

d) Funktion hetkellinen muutosnopeus on nolla kaikissa kohdissa, joihin piirretty tangentti on $x$-akselin suuntainen:

Kuva $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$. Tangentit ovat vaakasuorassa myös kahdessa muussa funktion huippukohdassa. Funktion hetkellinen muutosnopeus on siis nolla myös, kun $x=-2$ ja $x=2$. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$

 

 

 

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Määritä graafisesti

a) $f(1)$

b) $f'(1)$

c) $g(1)$

d) $g'(1)$

e) $h(1)$

f) $h'(1)$

Pisteytysohje: 

a) 

Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.$ f(1)=3$  $\color{Red}{ (+½p)}$.

b)

 

Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$. 

Pisteeseen $(1,3)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla, joten $f'(1)=0$.  $\color{Red}{ (+½p)}$.

c)

Kuva  $\color{Red}{ (+½p)}$.

$g(1)=0$.  $\color{Red}{ (+½p)}$.

d)

 

Kuva  $\color{Red}{ (+½p)}$. 

Funktiolle $g$ pisteeseen $(1,0)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on

\(k=\frac{2-0}{2-1}=\frac{2}{1}=2\)

eli $g'(1)=2$.  $\color{Red}{ (+½p)}$.

e)

Kuva  $\color{Red}{ (+½p)}$.

 $h(1)=-2$  $\color{Red}{ (+½p)}$.

f)

 

Kuva  $\color{Red}{ (+½p)}$.

Määritetään pisteeseen $(1,-2)$ piirretyn tangentin kulmakerroin:

\(k=\frac{-2-(-4)}{1-0}=\frac{-2+4}{1}=2\)

eli $h'(1)=2$.  $\color{Red}{ (+½p)}$.

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: