Santtu lähtee pururadalle juoksulenkille. Lenkin aikana hän pysähtyy harjoittelemaan ulkokuntosalille ja jatkaa sen jälkeen matkaa.
a) Kuinka pitkän lenkin Santtu tekee?
b) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) ensimmäisen 20 minuutin ajan?
c) Kuinka kauan Santtu viipyy ulkokuntosalilla?
d) Kuinka pitkän matkan Santtu juoksee ulkokuntosalilla käynnin jälkeen?
e) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) koko lenkin aikana, jos pysähdystä ulkokuntosalilla ei oteta huomioon?
a) Lenkin pituus on 7 km. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$
b) Santtu kulkee ensimmäisen 20 minuutin aikana 2 km. Muuten aika tunneiksi: $20\text{ min} = \frac{20}{60}\text{ h}=\frac{1}{3}\text{ h}$.
Lasketaan keskinopeus: $\frac{2 \text{ km}}{\frac{1}{3}\text{ h}}=6\text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$
c) Santtu ei etene aikavälillä 20 - 40 min, joten hän on ulkokuntosalilla $40 \text{ min} - 20 \text{ min}=20 \text{ min}$.$\color{Red}{\text{(+1p)}}$
d) Ulkokuntosali sijaitsee 2 km päässä aloituspaikasta ja koko lenkin pituus oli 7 km, joten ulkokuntosalin jälkeen matkaa on jäljellä $7 \text{ km} - 2 \text{ km} = 5 \text{ km}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$
e) Santulla menee koko lenkkiin aikaa 80 minuuttia, josta hän on pysähdyksissä 20 minuuttia. Siten Santtu juoksee $80 \text{ min}-20 \text{ min}=60 \text{ min} = 1 \text{ h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$
Koska lenkki oli 7 km pitkä, on Santun keskinopeus koko matkalla $\frac{7 \text{ km}}{1 \text{ h}}=7 \text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$
Määritä kuvaajan perusteeella
a) funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä $[1, 2]$.
b) funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=3$.
c) funktion hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=0$.
d) ne muuttujan arvot, joilla funktion hetkellinen nopeus on sama kuin c)-kohdassa.
a)Keskimääräinen nopeus saadaan määritettyä suoraan pisteiden $(1,3)$ ja $(2,5)$ koordinaateista:
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-3}{2-1}=\frac{2}{1}=2\) $\color{Red}{(+1½\text{p)}}$
TAI
Piirretään jana välille $[1,2]$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$ ja määritetään sen kulmakerroin.
\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{1}=2\)
Funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä $[1, 2]$ on siis 2.$\color{Red}{\text{ (+1p)}}$
b) Hetkellisen muutosnopeuden määrittämistä varten pitää funktiolle piirtää tangentti kohtaan $x=3$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$:
Määritetään tangentille kulmakerroin:
\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1-7}{4-2}=\frac{-8}{2}=-4\)
Funktion hetkellinen nopeus, kun $x=3$, on siis $-4$. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$
c) Piirretään funktiolle tangentti kohtaan $x=0$ $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$:
Koska tangentti kulkee vaakasuoraan, sen kulmakerroin on 0, joten siis hetkellinen muutosnopeus kohdassa $x=0$ on 0. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$
d) Funktion hetkellinen muutosnopeus on nolla kaikissa kohdissa, joihin piirretty tangentti on $x$-akselin suuntainen:
Kuva $\color{Red}{\text{ (+½p)}}$. Tangentit ovat vaakasuorassa myös kahdessa muussa funktion huippukohdassa. Funktion hetkellinen muutosnopeus on siis nolla myös, kun $x=-2$ ja $x=2$. $\color{Red}{\text{ (+1p)}}$
Määritä graafisesti
a) $f(1)$
b) $f'(1)$
c) $g(1)$
d) $g'(1)$
e) $h(1)$
f) $h'(1)$
a)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.$ f(1)=3$ $\color{Red}{ (+½p)}$.
b)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.
Pisteeseen $(1,3)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on nolla, joten $f'(1)=0$. $\color{Red}{ (+½p)}$.
c)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.
$g(1)=0$. $\color{Red}{ (+½p)}$.
d)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.
Funktiolle $g$ pisteeseen $(1,0)$ piirretyn tangentin kulmakerroin on
\(k=\frac{2-0}{2-1}=\frac{2}{1}=2\)
eli $g'(1)=2$. $\color{Red}{ (+½p)}$.
e)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.
$h(1)=-2$ $\color{Red}{ (+½p)}$.
f)
Kuva $\color{Red}{ (+½p)}$.
Määritetään pisteeseen $(1,-2)$ piirretyn tangentin kulmakerroin:
\(k=\frac{-2-(-4)}{1-0}=\frac{-2+4}{1}=2\)
eli $h'(1)=2$. $\color{Red}{ (+½p)}$.
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: