MAA2 testi5.1

Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.

Testin aihepiiri: 
Diskriminantti ja 2.asteen tekijöihinjako
Suositeltava osaamistaso: 
90%

a) Tutki ja päättele alla olevan kuvaajan sekä ratkaisukaavan lukujen avulla, milloin toisen asteen yhtälöllä $ax^2+bx+c=0$ on kaksi ratkaisua, milloin yksi ratkaisu, ja milloin ei yhtään ratkaisua.

b) Ratkaise laskemalla, kuinka monta juurta yhtälöllä $-2x^2-2=4x$.

Pisteytysohje: 

a) Nimetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa juurrettavana oleva lauseke $b^2-4ac$ diskriminantiksi ja merkitään sitä D-kirjaimella.

Eli $D=b^2-4ac$.

  • Toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua, kun diskriminantti on positiivinen $(D>0)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Yhtälöllä on yksi ratkaisu, kun diskriminantti on nolla $(D=0)$. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)
  • Kun diskriminantti on negatiivinen $(D<0)$, yhtälöllä ei ole ratkaisua. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

b) 

 \(\begin{align*}-2x^2-2&=4x &&||-4x \\ -2x^2-4x-2&=0 &&||a=-2, b=-4, c=-2 \end{align*}\)

Ratkaistaan juurien lukumäärä diskriminantin avulla.

\(\begin{align*}D&=b^2-4ac \\ &=(-4)^2-4 \cdot (-2) \cdot (-2) && \require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\\ &=16-16\\ &=0 &&\color{red}{\text{(+1p)}} \end{align*}\)

Vastaus: Koska yhtälön diskriminantti on nolla, yhtälöllä on yksi juuri. \(\require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Tutki ja arvioi graafisesti, millä vakion $k$ arvoilla yhtälöllä $x^2+kx+1=0$ ei ole ratkaisua.

b) Ratkaise laskemalla, millä vakion $k$ arvoilla yhtälöllä $x^2+kx+1=0$ on kaksi ratkaisua.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

a) Yhtälön $x^2+kx+1=0$ ratkaisuna ovat funktion $f(x)=x^2+kx+1$ nollakohdat. Funktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia silloin, kun kuvaaja on kokonaan $x$-akselin yläpuolella. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Funktion kuvaaja näyttäisi olevan $x$-akselin yläpuolella, kun $-2<k<2$.

Vastaus: $-2<k<2$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

b) Toisen asteen yhtälöllä on kaksi ratkaisua, kun diskriminantti on positiivinen $(D>0)$.

\(\require{color}\begin{align*} D&=b^2-4ac && ||\ a=1, b=k, c=1\\ &=k^2-4 \cdot 1 \cdot1 \\ &=k^2-4 && \color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)

Ratkaistaan epäyhtälö $D>0$ eli $k^2-4>0$.

Kyseessä on toisen asteen lauseke, jonka kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lausekkeen arvo on positiivinen nollakohtien ulkopuolella.

\(\require{color}\begin{align*} k^2-4&=0\\ k^2&=4\\ k&=\pm2 && \color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)

 \(\require{color}\color{red}\text{(Kuva +1p)}\)

Vastaus: $k<-2$ tai $k>2$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

a) Jaa alla olevaa kuvaajaa hyödyntäen polynomi $-x^2+3x+4$ tekijöihinsä.

b) Jaa laskemalla polynomi $2x^2+2x+\frac12$ tekijöihinsä.

c) Ratkaise sekä graafisesti että laskemalla, millä vakion $b$ arvolla polynomilla $\frac12 x^2+bx-4$ on tekijä $x-4$.


(Jos GeoGebra ei lataudu, avaa se tästä linkistä. Koskee IE- ja Mozilla-selaimia.)

Pisteytysohje: 

Toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihinsä nollakohtien avulla: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, missä $x_1$ ja $x_2$ ovat polynomin nollakohdat.

a) 

Kuvaajan perusteella havaitaan, että polynomin nollakohdat ovat $x_1=-1$ ja $x_2=4$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Lisäksi toisen asteen termin kerroin $a=-1$. Tällöin $-x^2+3x+4=-1(x-(-1))(x-4)=-(x+1)(x-4)$

Vastaus: $-(x+1)(x-4)$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

b) Jaetaan polynomi tekijöihinsä nollakohtien avulla.

\(\require{color}\begin{align*} x &=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\\\ &=\dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot2\cdot \frac12}}{2\cdot 2}\\\\ x &=\dfrac{-2 \pm \sqrt{0}}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)

Kun toisen asteen polynomilla on vain yksi nollakohta, kutsutaan sitä kaksoisjuureksi.

Jaetaan tekijöihin: $2x^2+2x+\frac12=2(x-(-\frac12))(x-(-\frac12))=2(x+\frac12)^2$.

Vastaus: $2(x+\frac12)^2$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

c) Toisen asteen polynomilla on tekijä $x-4$, jos ja vain jos $4$ on polynomin nollakohta.

Kuvaajasta havaitaan, että tämä toteutuu polynomille $\frac12 x^2+bx-4$, kun $b=-1$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Laskemalla voidaan myös ratkaista, millä $b$:n arvolla $x=4$ on polynomin nollakohta.

\(\require{color}\begin{align*} \frac12 x^2+bx-4&=0 &&||x=4\\ \frac12\cdot4^2+b\cdot4-4&=0\\ 8+4b-4&=0\\ 4b+4&=0\\ 4b&=-4\\ b&=-1 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align*}\)

Vastaus: $b=-1$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: