Kemiallisen reaktion nopeus $v$ riippuu suolahapon konsentraatiosta $x$ (mol/l) seuraavasti: $v(x)=2,\!0x(0,\!5-2x), 0\leq x \leq 0,\!25$. Millä suolahappokonsentraatiolla reaktion nopeus on mahdollisimman suuri?
\(\begin{align} v(x)&=2,\!0x(0,\!5-2x) \\ &= x-4x^2 \end{align}\) $\color{Red}{(+1\text{p})$
Ratkaistaan funktion derivaatan nollakohdat:
\(\begin{align} v'(x)&=1-8x &\color{Red}{(+1\text{p})} \\ v'(x) &=0 \\ 1-8x&=0 \\ 8x&=1 \qquad ||:8 \\ x&=\frac{1}{8} \\ &=0,\!125&\color{Red}{(+1\text{p})} \end{align}\)
Funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa $\color{Red}{(+1\text{p})$. Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa:
$v(0)=1-4\cdot 1^2=-3$
$v(0,\!125)=0,\!125-4\cdot 0,\!125^2=0,\!0625$
$v(0,\!25)=0,\!25-4\cdot 0,\!25^2=0$ $\color{Red}{(+1\text{p})$
Vastaus: reaktion nopeus on suurin, kun suolahappokonsentraatio on $0,\!125$ mol/l $\color{Red}{(+1\text{p})$
Katri rakentaa koiralleen suorakulmion muotoisen aitauksen. Aitaa on käytettävissä 50m. Miten aitauksen mitat pitää valita, jotta aitauksen pinta-ala on mahdollisimman suuri?
$0 \leq x \leq 50$
Määritetään aitauksen piirin avulla muuttujan $y$ suuruus:
\(\begin{align} x+y+x+y&=50 \\ 2x+2y&= 50 \\ 2y&= 50-2x \qquad ||:2 \\ y &= 25 - x \end{align}\) $\color{Red}{(+1\text{p})}$
Kirjoitetaan lauseke aitauksen pinta-alalle:
\(\begin{align} A(x)&=x\cdot y \\ &=x\cdot (25-x) \\ &=25x-x^2 \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{p})}$
Määritetään pinta-alan suurin arvo:
\(\begin{align} A'(x)=25-2x \end{align}\)
\(\begin{align} A'(x)&=0 \\ 25-2x&=0 \\ 2x&=25 \qquad ||:2\\ x&=12,\!5 \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{p})}$
Koska funktio on määritelty suljetulla välillä $[0,50]$, saa funktio suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa. Lasketaan funktion arvot näissä kohdissa :
$A(0)=25\cdot 0 - 0^2=0$
$A(12,5)=25\cdot 12,\!5 - 12,\! 5^2=156,25$
$A(50)=25\cdot 50 - 50^2 =-1250$ $\color{Red}{(+1\text{p})}$
Funktio saa suurimman arvon kohdassa $x=12,\!5$, joten
$y=25-12,\!5=12,\!5$ $\color{Red}{(+1\text{p})}$ ja
$A=12,\!5 \cdot 12,\!5=156,25$
Vastaus: aitauksen pinta-ala on 156,25 neliömetriä $\color{Red}{(+1\text{p})}$
Marjan Marjahillon myymän mustikkahillon hinta $x$ vaihteli $3,\!20$ eurosta $5,\!60$ euroon purkki vuodenajasta riippuen. Hinnalla $x$ hilloa myytiin $440-55x$ purkkia. Millä hinnalla mustikkahilloa myydään eniten, entä vähiten? Kuinka suuret myyntituotot mustikkahillon myynnistä voidaan parhaimmillaan saada?
Myyntitulot riippuvat tuotteen hinnasta ja myytyjen tuotteiden lukumäärästä:
\(\begin{align} m(x)&=x\cdot(440-55x) \\ &= 440x-55x^2 \qquad 3,\!20 \leq x \leq 5,60\\ \end{align}\)$\color{Red}{(+1\text{p})}$
Myyntitulot saavat suurimman ja pienimmän arvonsa joko välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdassa $\color{Red}{(+1\text{p})}$:
\(\begin{align} m'(x)&=400-110x && \color{Red}{(+1\text{p})}\\ m'(x)&=0 \\ 440-110x &=0 \\ 110x&=440 \qquad ||:110 \\ x&=4 &&\color{Red}{(+1\text{p})} \end{align}\)
Lasketaan funktion arvot välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa $\color{Red}{(+1\text{p})}$:
$m(3,\!20)=440\cdot 3,\!20-55\cdot 3,\!20^2=844,8$
$m(4)=440\cdot 4 - 55 \cdot 4^2=880$ $\leftarrow$ suurimmat myyntitulot
$m(5,\!60)=440 \cdot 5,\!60 - 55 \cdot 5,\!60^2=739,2$ $\leftarrow$ pienimmät myyntitulot
Vastaus: suurimmat myyntitulot, 880 €, saadaan hinnalla 4€ ja pienimmät myyntitulot hinnalla 5,60€ $\color{Red}{(+1\text{p})}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: