Olkoon $P(x)=2x^2+3x-3$ ja $Q(x)=kx^2-x+2k$.
a) Merkitse ja laske $R(x)=P(x)-Q(x)$ ja ilmoita polynomin $R(x)$ termien kertoimet.
b) Millä $k$:n arvolla yhtälöllä $R(x)=0$ on täsmälleen yksi ratkaisu?
a)
\(\begin{align} R(x)&=P(x)-Q(x)\\ &=2x^2+3x-3-(kx^2-x+2k)\\ &=2x^2+3x-3-kx^2+x-2k\\ &=2x^2-kx^2+3x+x-3-2k\\ &=(2-k)x^2+4x+(-3-2k)\qquad \require{color}\color{red}{\text{(+1p)}}\\ \end{align}\)
Termien kertoimet:
- toisen asteen termin kerroin: $2-k$
- ensimmäisen asteen termin kerroin: $4$
- vakiotermin kerroin $(-3-2k)$ \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
b) Yhtälöllä $R(x)=(2-k)x^2+4x+(-3-2k)=0$ on täsmälleen yksi ratkaisu, kun diskriminantti $D=b^2-4ac=0$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
\(\begin{align} b^2-4ac&=0\\4^2-4\cdot(2-k)(-3-2k)&=0\\ 16-4\cdot(-6-4k+3k+2k^2)&=0\\ 16-4\cdot(-6-k+2k^2)&=0\\ 16+24+4k-8k^2&=0\\ -8k^2+4k+40&=0\qquad \color{red}{\text{(+1p)}}\color{black}\\ \end{align}\)
Yhtälön voi ratkaista ratkaisukaavan avulla tai laskimen yhtälönratkaisutoiminnolla. Saadaan $k=-2$ tai $k=2,5$. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Ratkaisuja on yksi myös siinä tapauksessa, että toisen asteen termin kertoimeksi tulee nolla. Silloin päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön.
\(\begin{align} 2-k&=0\\ k&=2\qquad \color{red}{\text{(+1p)}} \end{align}\)
Vastaus: Yhtälöllä $R(x)=0$ on täsmälleen yksi ratkaisu, kun $k=2$ tai $k=-2$ tai $k=2,5$.
(Osaisitko tarkastella vastauksen oikeellisuutta GeoGebran ja/tai oman laskimen grafiikkatoimintojen avulla?)
Jaa tekijöihin.
a) $x^2-5x+ax-5a$
b) $16a^2+8ax+x^2$
a) Ryhmitellään:
\(\begin{align} &x^2-5x+ax-5a\\ =&x(x-5)+a(x-5) &&\color{red}{\text{(+1p)}}\\ =&(x+a)(x-5)&&\require{color}\color{red}{\text{(+2p)}} \end{align}\)
b) Käytetään binomin neliön kaavaa $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$:
\(\begin{align} &16a^2+8ax+x^2\\ =&(4a)^2+2\cdot4a\cdot x+x^2&&\color{red}{\text{(+1p)}}\\ =&(4a+x)^2&& \color{red}{\text{(+2p)}} \end{align}\)
Ratkaise yhtälöt:
a) $4t^2-12=2t^3-6t$
b)} $x^4-5x^2=6$
a) Muokataan yhtälöä:
\(\begin{align} 4t^2-12&=2t^3-6t&&||-2t^3+6t\\ -2t^3+4t^2+6t-12&=0&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Ryhmitellään ja erotetaan yhteinen tekijä:
\(\begin{align} (4t^2-12)-(2t^3-6t)&=0\\ 2(2t^2-6)-t(2t^2-6)&=0\\ (2-t)(2t^2-6)&=0&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\\ \end{align}\)
Tulon nollasäännön nojalla:
\(\begin{align} 2-t&=0&& \text{tai}& 2t^2-6&=0\\ t&=2&&&2t^2&=6\\ &&&&t^2&=3\\ &&&&t&=\pm \sqrt{3}\\ \end{align}\)
Vastaus: $t=2$ tai $t=\pm \sqrt{3}$. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Yhtälö $x^4-5x^2=6$ on bikvadraattinen yhtälö. Merkitään $x^2=t$ ja sijoitetaan t yhtälöön:
$t^2-5t-6=0$ \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Kyseessä on toisen asteen yhtälö. Ratkaistaan se ratkaisukaavalla tai laskimen yhtälönratkaisutoiminnolla, jolloin saadaan $t=-1$ tai $t=6$. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Kun $t=-1$:
\(\begin{align} x^2&=t\\ x^2&=-1\\ \text{ei }&\text{ratkaisua} \end{align}\)
Kun $t=6$:
\(\begin{align} x^2&=t\\ x^2&=6\\ x&=\pm \sqrt{6}\\ \end{align}\)
Vastaus: $x=\pm \sqrt{6}$. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: