MAB8 t1.1

Suorakulmaisen kolmion ominaisuuksista.

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Onko kolmio suorakulmainen?

 

 

Pisteytysohje: 

Jos kolmio on suorakulmainen, niin kolmion sivujen

pituudet toteuttavat pythagoraan lauseen

\(a^2+b^2=c^2\) \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)

Hypotenuusa on pisin sivu eli \(c=10\) 

Kateetit ovat lyhimpiä sivuja eli\(\ a=8, \ b=5\)

Tarkistetaan toteutuuko pythagoraan lause

\(\quad a^2+b^2\)

\(=8^2+5^2\)

\(=64+25\)

\(=89\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

\(\quad c^2\)

\(=10^2\)

\(=100\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Koska \(89 \neq 100\), niin pythagoraan lause

ei toteudu ja kolmio ei ole suorakulmainen. \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)

Vastaus: Kolmio ei ole suorakulmainen.

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Ratkaise kolmio

Pisteytysohje: 

Merkitään kuvaan tuntemattoman sivut ja tuntematon kulma.

Koska kolmion kulmien summa on 180 astetta, niin

\(34^{\circ}+90^{\circ}+\beta=180^{\circ}\) 

\(124^{\circ}+\beta=180^{\circ}\)

\(\beta = 180^{\circ}-124^{\circ}\)

\(\beta = 56^{\circ}\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Ratkaistaan tangentin avulla kateetin a pituus.

\(\tan 34^{\circ}=\dfrac{4}{a} \qquad\qquad ||\cdot a\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(a \cdot \tan 34^{\circ} = 4 \quad \qquad ||:\tan 34^{\circ}\)

\(a=\dfrac{4}{\tan 34^{\circ}}\)

\(a\approx 5,93\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Ratkaistaan sinin avulla hypotenuusan c pituus

\(\sin 34^{\circ}=\dfrac{4}{c} \qquad\qquad ||\cdot a\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(c \cdot \sin 34^{\circ} = 4 \quad \qquad ||:\sin 34^{\circ}\)

\(c=\dfrac{4}{\sin 34^{\circ}}\)

\(c \approx 7,2\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Vastaus: Kolmion kulmat ovat 34, 56 ja 90 astetta. Sivujen pituudet ovat 4, 5.93 ja 7.2. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Ratkaise kolmio

Pisteytysohje: 

Kolmio on tasakylkinen.

Tasakylkisella kolmiolla on seuraavat ominaisuudet

  • kolmiolla on kaksi yhtä pitkää sivua (kylkeä)
  • kantakulmat ovat yhtä suuret
  • kannalle piirretty korkeusjana puolittaa kolmion huippukulman.

 

 

\(\color{Red}{\text{(+1p kuvasta)}}\)

Ratkaistaan sivun x pituus kosinin avulla.

\(\cos 40^{\circ}=\dfrac{x}{8} \qquad \qquad ||\cdot 8\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(8 \cos 40^{\circ} = x\)

\(x \approx 6,13\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Kolmion kanta on siis

\(2 x \approx 12,3\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Koska kolmion kulmien summa on 180 astetta, niin 

\(2\beta + 40^{\circ}+40^{\circ}=180^{\circ}\) 

\(2 \beta = 100^{\circ}\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

Vastaus: Kolmion sivujen pituudet ovat 12.3, 8 ja 8.

Kolmion kulmien suuruudet ovat 40, 40 ja 100 astetta. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: