MAB2 / MAA3 Testi 3.1

Suositeltava osaamistaso: 
85%

Osoita, että kolmiot ovat yhdenmuotoisia.

 

Pisteytysohje: 

Molemmissa kolmioissa on $37$ asteen kulmat ja kulma $\gamma$ on yhteinen molemmille kolmioille  $\color{Red}{(+1\text{p})}$, joten kaksi kulmaa -lauseen nojalla kolmiot ovat yhdenmuotoisia  $\color{Red}{(+1\text{p})}$.

 

Lasketaan kulman $\epsilon$ suuruus:

$\epsilon = 180^o - (90^o + 63^o) = 27^o$ $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Sinisen kolmion kulma $\epsilon$ on siis yhtä suuri kuin sen vastin kulma punaisessa kolmiossa  $\color{Red}{(+1\text{p})}$. Tämän lisäksi molemmat kolmiot ovat suorakulmaisia  $\color{Red}{(+1\text{p})}$, joten kaksi kulmaa -lauseen nojalla kolmiot ovat yhdenmuotoiset  $\color{Red}{(+1\text{p})}$.

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Laske janan $x$ pituus.

Pisteytysohje: 

Pieni ja iso kolmio ovat keskenään yhdenmuotoisia, koska huippukulma on yhteinen ja pienen kolmion kantakulmat ovat samankohtaisia kulmia ison kolmion kantakulmien kanssa. $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Kolmioissa vastinsivuja ovat sivut, joiden pituudet ovat $2$ ja $6$, sekä sivut, joiden pituudet ovat $2\sqrt{2}$ ja $x+2\sqrt{2}$  $\color{Red}{(+1\text{p})} $

TAPA 1:

Kolmioiden mittakaava on $1:3$, joten $\text{isomman kolmion sivu} = 3 \cdot \text{pienemmän kolmion sivu}$  $\color{Red}{(+1\text{p})} $

\(\begin{align} x+2\sqrt{2} &=3\cdot 2\sqrt{2} &&\color{Red}{(+1\text{p})} \\ x+2\sqrt{2} &=6\sqrt{2} && ||-2\sqrt{2} \\ x&= 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ x&=4\sqrt{2} && \color{Red}{(+1\text{p})} \end{align}\)

TAPA 2:

Muodostetaan vastinsivujen suhteet:

\(\begin{align} \frac{2}{6}&=\frac{2\sqrt{2}}{x+2\sqrt{2}}& & \color{Red}{(+1\text{p})} \\ 2(x+2\sqrt{2}) &=6\cdot 2\sqrt{2} &||:2 & \color{Red}{(+1\text{p})}\\ x+2\sqrt{2} &=3\cdot 2\sqrt{2} \\ x&= 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} \\ &=4\sqrt{2} && \color{Red}{(+1\text{p})} \end{align}\)

Vastaus: $4\sqrt{2}$  $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Kartan mittakaava on 1 : 20 000.

a) Koulu sijaitsee kartalla $3,\!6$ senttimetrin päässä kaupasta. Kuinka pitkä kävelymatka koululta on kauppaan?

b) Maijan koti sijaitsee $12,\!5$ kilometrin päässä koululta. Kuinka pitkä matka tämä on kartalla?

 

c) Hampurin ja Berliinin välinen etäisyys on linnuntietä 256 km. Kartalta mitattuna tämä etäisyys on 8 cm. Mikä on kartan mittakaava?

Pisteytysohje: 

Mittakaava 1 : 20 000 tarkoittaa, että yksi senttimetri kartalla vastaa 20 000 senttimetriä eli 200 metriä luonnossa.

a) $3,\!6 \cdot 20\text{ }000 = 72 \text{ }000$ $\color{Red}{(+1\text{p})}$

$72 \text{ }000 \text{ cm}=720 \text{ m}$

Vastaus: Koulu sijaitsee 720 metrin päässä kaupasta $\color{Red}{(+1\text{p})}$

b) $12,\!5 \text{ km} = 1\text{ }250\text{ }000 \text{ cm}$

$\frac{1\text{ }250\text{ }000}{20\text{ }000}=62,\!5$ $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Vastaus: Maijan kodin etäisyys koulusta on kartalla 62,5 senttimetriä $\color{Red}{(+1\text{p})}$

c) 8 cm kartalla on 256 km = 256 000 m = 25 600 000 cm luonnossa eli

\(\begin{align} \frac{25 \text{ }600 \text{ } 000}{8}=3\text{ }200\text{ }000 \end{align}\) $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Vastaus: kartan mittakaava on $1:3\text{ } 200 \text{ }000$  $\color{Red}{(+1\text{p})}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: