trigonometriset yhtälöt
Ratkaise yhtälö asteina
a)\(\cos \alpha = 0,50\)
b) \(\cos (2\alpha+30^{\circ}) = 0,30\)
a) Etsitään yksi ratkaisu
\(\cos \alpha = 0,50 \qquad ||\cos^{-1}\)
\(\quad \ \ \alpha = 60^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Koska kosinin jakso on
360 astetta ja \(\cos (\alpha) = \cos ( - \alpha)\),
niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat
\( \alpha = 60^{\circ}+ n \cdot 360^{\circ} \) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
tai
\( \alpha = -60^{\circ}+ n \cdot 360^{\circ} \) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
Vastaus: \(\alpha = \pm 60^{\circ}+n \cdot 360^{\circ}\), jossa n on kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Etsitään yksi ratkaisu
\(\cos (2\alpha+30^{\circ}) = 0,30 \quad ||\cos^{-1}\)
Koska kosinin jakso on
360 astetta ja \(\cos (\alpha) = \cos ( - \alpha)\),
niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat
\( 2\alpha+30^{\circ} =72,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)
\( 2\alpha=42,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)
\( \alpha=21, 27 \ldots^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
tai
\( 2\alpha+30^{\circ} =-72,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)
\( 2\alpha=-102,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)
\( \alpha=-51,27 \ldots^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
Vastaus: \( \alpha=21, 2^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\)
tai \( \alpha=-51,3^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\), jossa n
on kokonaisluku \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaise yhtälö radiaaneina
a) \(\tan 3\alpha=1\)
b) \(\sin (\alpha+1)=0,5\)
a) Selvitetään yksi yhtälön ratkaisu
\(\tan 3\alpha=1\ \ \qquad ||\tan^{-1}\)
\(\ \ \ \ \ \ 3\alpha=\dfrac{\pi}{4} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Koska tangentin jakso on \(\pi \)radiaania
(180 astetta), niin yhtälön kaikki
ratkaisut ovat
\(3\alpha=\dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi \qquad ||:3\)
\(\alpha=\dfrac{\pi}{12} + n \cdot \dfrac{\pi}{3} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: \(\alpha=\dfrac{\pi}{12} \text{ rad}+ n \cdot \dfrac{\pi}{3} \text{ rad}\),
jossa n on kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Selvitetään yksi yhtälön ratkaisu
\(\sin (\alpha+1)=0,5 \qquad ||\sin^{-1}\)
\(\ \ \ \ \ \ \alpha + 1 = \dfrac{\pi}{6} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Koska sinin jakso on \(2 \pi\) radiaania ja
\(\sin \alpha = \sin (\pi-\alpha)\), niin yhtälön
kaikki ratkaisut ovat
\(\ \ \ \ \ \ \alpha + 1 = \dfrac{\pi}{6}+ n \cdot 2 \pi\)
\(\ \ \ \ \ \ \alpha = \dfrac{\pi}{6}-1+ n \cdot 2 \pi\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
tai
\(\alpha + 1 = \pi - \dfrac{\pi}{6}+ n \cdot 2 \pi\)
\(\alpha = \dfrac{5\pi}{6} - 1+ n \cdot 2 \pi\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)
Vastaus: \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6} - 1+ n \cdot 2 \pi \)
tai \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}-1+ n \cdot 2 \pi\), jossa n on
kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Punnuksen poikkeama senttimetreinä
tasapainoasemasta määräytyy funktion
\(f(t)=10 \sin (12 t + 3 \pi)\) mukaisesti,
jossa t on aika sekunteina.
a) Määritä amplitudi
b) Määritä jaksonaika
c) Mikä on punnuksen poikkeama
tasapainoasemasta hetkellä t=10 s?
a) Amplitudi on punnuksen suurin poikkeama tasapainoasemasta.
Koska sinin suurin arvo on yksi, niin funktion \(f(t)=10 \sin ( 12 t + 3 \pi)\)
suurin arvo on \(10 \cdot 1 = 10\).
Vastaus: Amplitudi on 10. \(\quad \color{red}{\text{(+2p)}}\)
b) Sinifunktion jakso on \(2 \pi\), joten yhteen värähdykseen kuluu aikaa
(jaksonaika) \(\dfrac{2\pi}{12} \approx 0,523 \ldots\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: Jaksonaika on noin 0,52 sekuntia. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
c) Sijoitetaan \(t=10 \) funktioon ja lasketaan funktion arvo.
\(f(10)=10 \cdot \sin ( 12 \cdot 10 + 3 \pi) \approx -5,8\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: Punnus on 0,58 senttimetriä tasapainoaseman alapuolella. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: