MAB8 t3.1

trigonometriset yhtälöt

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Ratkaise yhtälö asteina

a)\(\cos \alpha = 0,50\)

b) \(\cos (2\alpha+30^{\circ}) = 0,30\)

Pisteytysohje: 

a) Etsitään yksi ratkaisu

\(\cos \alpha = 0,50 \qquad ||\cos^{-1}\)

\(\quad \ \ \alpha = 60^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Koska kosinin jakso on

360 astetta ja \(\cos (\alpha) = \cos ( - \alpha)\),

niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat

 

\( \alpha = 60^{\circ}+ n \cdot 360^{\circ} \) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

tai

\( \alpha = -60^{\circ}+ n \cdot 360^{\circ} \)  \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

 

Vastaus: \(\alpha = \pm 60^{\circ}+n \cdot 360^{\circ}\), jossa n on kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

b) Etsitään yksi ratkaisu

 \(\cos (2\alpha+30^{\circ}) = 0,30 \quad ||\cos^{-1}\)

\(\ \ \ \ \ \ \ \ 2\alpha+30^{\circ} =72,5 \ldots^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Koska kosinin jakso on 

360 astetta ja \(\cos (\alpha) = \cos ( - \alpha)\),

niin yhtälön kaikki ratkaisut ovat

 

\( 2\alpha+30^{\circ} =72,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)

\( 2\alpha=42,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)

\( \alpha=21, 27 \ldots^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

tai

\( 2\alpha+30^{\circ} =-72,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)

\( 2\alpha=-102,5 \ldots^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\)

\( \alpha=-51,27 \ldots^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

 

Vastaus: \( \alpha=21, 2^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\)

tai \( \alpha=-51,3^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\), jossa n 

on kokonaisluku \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Ratkaise yhtälö radiaaneina

a) \(\tan 3\alpha=1\)

b) \(\sin (\alpha+1)=0,5\)

Pisteytysohje: 

a) Selvitetään yksi yhtälön  ratkaisu

\(\tan 3\alpha=1\ \ \qquad ||\tan^{-1}\)

\(\ \ \ \ \ \ 3\alpha=\dfrac{\pi}{4} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Koska tangentin jakso on \(\pi \)radiaania

(180 astetta), niin yhtälön kaikki

ratkaisut ovat

\(3\alpha=\dfrac{\pi}{4} + n \cdot \pi \qquad ||:3\)

\(\alpha=\dfrac{\pi}{12} + n \cdot \dfrac{\pi}{3} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Vastaus: \(\alpha=\dfrac{\pi}{12} \text{ rad}+ n \cdot \dfrac{\pi}{3} \text{ rad}\),  

jossa n on kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

b) Selvitetään yksi  yhtälön ratkaisu

\(\sin (\alpha+1)=0,5 \qquad ||\sin^{-1}\)

\(\ \ \ \ \ \ \alpha + 1 = \dfrac{\pi}{6} \) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Koska sinin jakso on \(2 \pi\) radiaania ja

\(\sin \alpha = \sin (\pi-\alpha)\), niin yhtälön

kaikki ratkaisut ovat

 

\(\ \ \ \ \ \ \alpha + 1 = \dfrac{\pi}{6}+ n \cdot 2 \pi\)

\(\ \ \ \ \ \ \alpha = \dfrac{\pi}{6}-1+ n \cdot 2 \pi\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

tai

\(\alpha + 1 = \pi - \dfrac{\pi}{6}+ n \cdot 2 \pi\)

\(\alpha = \dfrac{5\pi}{6} - 1+ n \cdot 2 \pi\) \(\quad \color{red}{\text{(+0,5p)}}\)

Vastaus: \(\alpha = \dfrac{5\pi}{6} - 1+ n \cdot 2 \pi \) 

tai \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}-1+ n \cdot 2 \pi\), jossa n on 

kokonaisluku. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Punnuksen poikkeama senttimetreinä 

tasapainoasemasta määräytyy funktion

\(f(t)=10 \sin (12 t + 3 \pi)\) mukaisesti,

jossa t on aika sekunteina.

 

a) Määritä amplitudi

b) Määritä jaksonaika

c) Mikä on punnuksen poikkeama

    tasapainoasemasta hetkellä t=10 s?

Pisteytysohje: 

a) Amplitudi on punnuksen suurin poikkeama tasapainoasemasta.

    Koska sinin suurin arvo on yksi, niin funktion \(f(t)=10 \sin ( 12 t + 3 \pi)\)

    suurin arvo on \(10 \cdot 1 = 10\).

    Vastaus: Amplitudi on 10. \(\quad \color{red}{\text{(+2p)}}\)

 

b) Sinifunktion jakso on \(2 \pi\), joten yhteen värähdykseen kuluu aikaa

    (jaksonaika) \(\dfrac{2\pi}{12} \approx 0,523 \ldots\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

    Vastaus: Jaksonaika on noin 0,52 sekuntia. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

c) Sijoitetaan \(t=10 \) funktioon ja lasketaan funktion arvo.

     \(f(10)=10 \cdot \sin ( 12 \cdot 10 + 3 \pi) \approx -5,8\) \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

   Vastaus: Punnus on 0,58 senttimetriä tasapainoaseman alapuolella. \(\quad \color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: