komponenttiesitys, pistetulo
a) Mikä on vektorin \(\overline{a}=2\overline{i}-5\overline{j}\) pituus? (2p)
b) Ovatko vektorit \(\overline{a}=-5\overline{i}+2\overline{j}\) ja
\(\overline{b}=10\overline{i}-4\overline{j}\) yhdensuuntaiset? (4p)
a) Piirretään kuva tilanteesta.
Vektorit \(2\overline{i}, -5\overline{j} \text{ ja }2\overline{i}-5\overline{j}\) muodostavat
suorakulmaisen kolmion. Vektorin pituus
saadaan laskettua pythagoraan lauseen avulla.
\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 2^2+(-5)^2\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 4+25\)
\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 29\)
\(|2\overline{i}-5\overline{j}| =\pm \sqrt{29}\)
Vastaus: Vektorin pituus on \(\sqrt{29}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
b) Jos vektorit \(\overline{a} \)ja \(\overline{b} \) ovat yhdensuuntaiset,
niin on olemassa reaaliluku \(t\)siten, että
\(\overline{a}=t\cdot \overline{b}\). \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaistaan t.
\(\overline{a}=t\cdot \overline{b}\)
\(-5\overline{i}+2\overline{j}=t(10\overline{i}-4\overline{j})\)
\(-5\overline{i}+2\overline{j}=10t\overline{i}-4t\overline{j}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Jos vektorit ovat samat, niin yksikkövektorien kertoimien
pitää olla samat eli \(-5\overline{i}=10t\overline{i}\) ja \(2\overline{j}=-4t\overline{j}\).
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan
\(-5\overline{i}=10t\overline{i}\)
\(t=-\dfrac{1}{2}\)
Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön
\(2\overline{j}=-4t\overline{j}=-4 \cdot \Big( - \dfrac{1}{2} \Big) j = 2 \overline{j}\).
Siis \(t=-\dfrac{1}{2}\) toteuttaa molemmat yhtälöt. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: Koska \(\overline{a}=-\dfrac{1}{2}\cdot \overline{b}\), niin vektorit ovat yhdensuuntaiset. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Mikä on vektorien \(\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}\)
ja \(\overline{b}=\overline{i}+5 \overline{j}\) välinen kulma?
Pistetulon määritelmästä
\(\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}|\cos (\overline{a}, \ \overline{b})\)
saadaan ratkaistua vektorien
välinen kulma
\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}\).
Lasketaan vektorien pistetulo.
\(\overline{a}\cdot \overline{b}=\)\((2 \overline{i}-\overline{j})\) \((\overline{i}+5 \overline{j})\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(\overline{a}\cdot \overline{b}=2 \cdot 1 - 1 \cdot 5\)
\(\overline{a}\cdot \overline{b}=-3\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Lasketaan vektorien pituudet.
\(|\overline{a}|=\sqrt{2^2 +(-1)^2}\)
\(|\overline{a}|=\sqrt{5}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(|\overline{b}|=\sqrt{1^2 +5^2}\)
\(|\overline{b}|=\sqrt{26}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Ratkaistaan vektorien välinen kulma.
\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{-3}{\sqrt{5}\sqrt{26}}\)
\(\angle(\overline{a}, \ \overline{b})\approx 105^{\circ}\)
Vastaus: Vektorien välinen
kulma on 105 astetta. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Määritä vakio t siten, että vektorit \(\overline{a}=2t \overline{i}-2\overline{j}\) ja
\(\overline{b}=5\overline{i}-3\overline{j}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Vektorit ovat kohtisuorassa
toisiaan vastaan, jos niiden välinen
pistetulo on nolla.
\(\overline{a}\cdot \overline{b}=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\((2t \overline{i}-2\overline{j})(5\overline{i}-3\overline{j})=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(2t \cdot 5 -2 \cdot (-3)=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(10t +6=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
\(10t =-6 \qquad \qquad \qquad \qquad||:10\)
\(t=-\dfrac{6}{10}\)
\(t=-\dfrac{3}{5}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Vastaus: Jos \(t=-\dfrac{3}{5}\), niin vektorit ovat
kohtisuorassa toisiaan vastaan. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: