MAB8 t6.1

komponenttiesitys, pistetulo

Suositeltava osaamistaso: 
80%

a) Mikä on vektorin \(\overline{a}=2\overline{i}-5\overline{j}\) pituus? (2p)

b) Ovatko vektorit \(\overline{a}=-5\overline{i}+2\overline{j}\) ja

    \(\overline{b}=10\overline{i}-4\overline{j}\) yhdensuuntaiset? (4p)

Pisteytysohje: 

a) Piirretään kuva tilanteesta.

Vektorit \(2\overline{i}, -5\overline{j} \text{ ja }2\overline{i}-5\overline{j}\) muodostavat

suorakulmaisen kolmion. Vektorin pituus

saadaan laskettua pythagoraan lauseen avulla.

\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 2^2+(-5)^2\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 4+25\)

\(|2\overline{i}-5\overline{j}|^2 = 29\)

\(|2\overline{i}-5\overline{j}| =\pm \sqrt{29}\)

 

Vastaus: Vektorin pituus on \(\sqrt{29}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

b) Jos vektorit \(\overline{a} \)ja \(\overline{b} \) ovat yhdensuuntaiset,

niin on olemassa reaaliluku \(t\)siten, että

\(\overline{a}=t\cdot \overline{b}\)\(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Ratkaistaan t.

\(\overline{a}=t\cdot \overline{b}\)

\(-5\overline{i}+2\overline{j}=t(10\overline{i}-4\overline{j})\)

\(-5\overline{i}+2\overline{j}=10t\overline{i}-4t\overline{j}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Jos vektorit ovat samat, niin yksikkövektorien kertoimien

pitää olla samat eli \(-5\overline{i}=10t\overline{i}\) ja \(2\overline{j}=-4t\overline{j}\).

 

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan

\(-5\overline{i}=10t\overline{i}\)

 

\(t=-\dfrac{1}{2}\) 

 

Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön

\(2\overline{j}=-4t\overline{j}=-4 \cdot \Big( - \dfrac{1}{2} \Big) j = 2 \overline{j}\).

Siis \(t=-\dfrac{1}{2}\) toteuttaa molemmat yhtälöt. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Vastaus: Koska \(\overline{a}=-\dfrac{1}{2}\cdot \overline{b}\), niin vektorit ovat yhdensuuntaiset. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Mikä on vektorien \(\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}\) 

ja \(\overline{b}=\overline{i}+5 \overline{j}\) välinen kulma?

 

Pisteytysohje: 

Pistetulon määritelmästä

\(\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}|\cos (\overline{a}, \ \overline{b})\)

saadaan ratkaistua vektorien

välinen kulma 

\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}\)

 

Lasketaan vektorien pistetulo.

\(\overline{a}\cdot \overline{b}=\)\((2 \overline{i}-\overline{j})\) \((\overline{i}+5 \overline{j})\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(\overline{a}\cdot \overline{b}=2 \cdot 1 - 1 \cdot 5\)

\(\overline{a}\cdot \overline{b}=-3\)  \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Lasketaan vektorien pituudet.

\(|\overline{a}|=\sqrt{2^2 +(-1)^2}\)  

\(|\overline{a}|=\sqrt{5}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(|\overline{b}|=\sqrt{1^2 +5^2}\)

\(|\overline{b}|=\sqrt{26}\)  \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

 

Ratkaistaan vektorien välinen kulma.

\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}||\overline{b}|}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(\cos (\overline{a}, \ \overline{b})= \dfrac{-3}{\sqrt{5}\sqrt{26}}\)

\(\angle(\overline{a}, \ \overline{b})\approx 105^{\circ}\)

Vastaus: Vektorien välinen

kulma on 105 astetta. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Määritä vakio t siten, että vektorit \(\overline{a}=2t \overline{i}-2\overline{j}\) ja

\(\overline{b}=5\overline{i}-3\overline{j}\) ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

 

Pisteytysohje: 

Vektorit ovat kohtisuorassa

toisiaan vastaan, jos niiden välinen 

pistetulo on nolla. 

\(\overline{a}\cdot \overline{b}=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\((2t \overline{i}-2\overline{j})(5\overline{i}-3\overline{j})=0\)  \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(2t \cdot 5 -2 \cdot (-3)=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(10t +6=0\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(10t =-6 \qquad \qquad \qquad \qquad||:10\)

\(t=-\dfrac{6}{10}\)

\(t=-\dfrac{3}{5}\) \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Vastaus: Jos \(t=-\dfrac{3}{5}\), niin vektorit ovat

kohtisuorassa toisiaan vastaan. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: