MAA4 testi2.1

Suositeltava osaamistaso: 
85%

Suora kulkee pisteiden $(-2,4)$ ja $(7,-2)$ kautta. Määritä

a) suoran suuntakulma,
b) suoran yhtälö.

Harjoittele myös suoran piirtämistä alla olevan GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:

  • A=(-2,4)   (paina enter-näppäintä jokaisen komennon välillä)
  • B=(7,-2)
  • suora[A,B]

Pisteytysohje: 

a) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin.

\(k=\dfrac{4-(-2)}{-2-7}=\dfrac{6}{-9}=-\dfrac23 \qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)} \)

Kulmakertoimen avulla saadaan laskettua suuntakulma yhtälöllä $\text{tan } \alpha=k$.

\(\require{color} \begin{align} \text{tan } \alpha&=k\\ \text{tan } \alpha&=-\frac23 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ \alpha&=-33,690...^{\circ}\\ \alpha&\approx\underline{\underline{-33,7^{\circ}}}&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

b) Suoran yhtälö saadaan yhtälöllä $y-y_0=k(x-x_0)$.

\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k(x-x_0) \\ y-4&=-\frac23(x-(-2)) &&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y-4&=-\frac23x-\frac43&&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y&=-\frac23x+\frac83 \end{align}\)

Vastaus: \(y=-\dfrac23x+\dfrac83 \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Olkoon suorat $-2x+y+5=0$ ja $y=-3x+5$. Määritä

a) suorien leikkauspiste,
b) suorien välinen kulma.

Tutkaile tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään molempien suorien yhtälöt.

Pisteytysohje: 

a) Ratkaistaan leikkauspiste yhtälöparilla.

\(\left\{\begin{matrix} -2x&+y+5&=0 &&||\cdot(-1)\\ 3x&+y-5&=0 \end{matrix}\right.\)      $\color{red}\text{(+1p)}$

\(\left\{\begin{matrix} 2x-y-5&=0\\ 3x+y-5&=0 \end{matrix}\right.\)

Laskemalla yhtälön molemmat puolet yhteen saadaan

\(\require{color}\begin{align} 5x-10&=0\\ 5x&=10\\ x&=2&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

Sijoitetaan $x=2$ jompaan kumpaan yhtälöistä.

\(\begin{align} 3\cdot2+y-5&=0\\ 6+y-5&=0\\ y+1&=0\\ y&=-1 \end{align}\)

Vastaus: $(2,-1)$    $\color{red}\text{(+1p)}$

b) Suorien kulmakertoimet ovat $k_1=2$ ja $k_2=-3$. $\color{red}\text{(+1p)}$

\(\begin{align} \text{tan }\alpha&= \begin{vmatrix} \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{2-(-3)}{1+2\cdot (-3)}\end{vmatrix}\\\\ &=|-1|=1\qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

\(\begin{align} \text{tan }\alpha&=1\\ \alpha&=\underline{\underline{45^\circ}}&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Olkoon pisteet $A(-2,3)$ ja $B(4,1)$. Määritä laskemalla janan $AB$ keskinormaalin yhtälö.

Muodosta tilanteesta myös kuva GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:

  • A=(-2,3)
  • B=(4,1)
  • jana[A,B]
  • keskinormaali[A,B]

Pisteytysohje: 

Janan keskipisteen koordinaatit ovat

\(\require{color} \begin{align} x_0 &= \frac{-2+4}{2}=1 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y_0 &= \frac{3+1}{2}=2 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

Janan kulmakerroin on 

\(k=\dfrac{3-1}{-2-4}=\dfrac{2}{-6}=-\dfrac13\quad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\),

joten janan keskinormaalin kulmakerroin on kohtisuoruusehdon $(k_1 \cdot k_2 = -1)$ mukaisesti $k_n=3$. $\color{red}\text{(+1p)}$

Janan keskinormaalin yhtälö on siten

\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k_n(x-x_0) \\y-2&=3(x-1) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y-2&=3x-3\\ y&=3x-1 \end{align}\)

Vastaus: $y=3x-1$   $\color{red}\text{(+1p)}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: