a) Onko piste $(3, -7)$ käyrällä $y = x^2 - 5x$?
b) Onko piste $(3, -100)$ käyrän $y = x^2 - 5x$ ylä- vai alapuolella?
a) Piste on käyrällä, jos se toteuttaa käyrän yhtälön. Sijoitetaan yhtälöön $x=3$ ja $y=-7$.
\(\require{color} \begin{align} -7 &= 3^ 2 - 5\cdot3&&\color{red}\text{(+1p)}\\ -7 &= 9 - 15\\ -7 &= -6 \quad \text{epätosi} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: Piste ei ole kyseisellä käyrällä. $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Sijoitetaan luku $3$ muuttujan $x$ paikalle.
\(\require{color} \begin{align} y &= 3^2 - 5\cdot3&&\color{red}\text{(+1p)}\\ y &= 9 - 15\\ y &= -6 \end{align}\)
Kun $x = 3$, käyrällä olevan pisteen $y$-koordinaatti on $-6$, eli käyrän piste on $(3, -6)$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Pisteen $(3, -100)$ $y$-koordinaatti on pienempi, joten kyseinen piste on käyrän alapuolella.
Vastaus: Alapuolella. $\color{red}\text{(+1p)}$
a) Määritä janan $AB$ pituus, kun $A = (2, 1)$ ja $B = (2, 17)$.
b) Laske pisteiden $(-4,9)$ ja $(1,-3)$ välinen etäisyys.
a) Koska janan päätepisteiden $x$-koordinaatti on sama, kyseinen jana on pystysuorassa. Sen pituus on päätepisteiden $y$-koordinaattien etäisyys. $\color{red}\text{(+1p)}$.
\(\require{color} \begin{align} &17-1 && \color{red}\text{(+1p)} &&& \\ =&\underline{\underline{16}} \quad && \color{red}\text{(+1p)} &&& \end{align} \)
b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella $d$.
\(\require{color} \begin{align}d&=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} && \color{red}\text{(+1p)}\\&=\sqrt{(-4-1)^2+(9-(-3))^2} && \color{red}\text{(+1p)}\\ &=\sqrt{(-5)^2+12^2}\\ &=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}\\&=\underline{\underline{13}}&& \color{red}\text{(+1p)} &&& \end{align}\)
a) Janan päätepisteet ovat $(– 5, -1)$ ja $(3, 5)$. Määritä janan keskipiste.
b) Janan keskipiste on $(-5, -1)$ ja janan toinen päätepiste on $(3, 5)$. Määritä janan toinen päätepiste.
a) Olkoonn janan keskipiste $(x_0, y_0)$
\(\require{color} \begin{align} x_0 &= \frac{-5+3}{2}=-1 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y_0 &= \frac{-1+5}{2}=2 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: $(-1,2)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Olkoon janan toinen päätepiste $(x,y)$. Janan päätepiste saadaan määritettyä päätepisteiden keskiarvojen avulla.
\(\require{color} \begin{align} x:\qquad -5 &= \frac{3+x}{2} &&||\cdot 2\\ -10&=3+x &&||-3\\ -13 &= x &&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ y: \qquad-1 &= \frac{5+y}{2} &&||\cdot 2\\ -2&=5+y &&||-5\\ -7 &= y &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: $(-13,-7)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: