Suora kulkee pisteiden $(-4,-2)$ ja $(-1,4)$ kautta. Määritä
a) suoran suuntakulma,
b) suoran yhtälö.
Harjoittele myös suoran piirtämistä alla olevan GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:
- A=(-4,-2) (paina enter-näppäintä jokaisen komennon välillä)
- B=(-1,4)
- suora[A,B]
a) Lasketaan ensin suoran kulmakerroin.
\(k=\dfrac{-2-4}{-4-(-1)}=\dfrac{-6}{-3}=2 \qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)} \)
Kulmakertoimen avulla saadaan laskettua suuntakulma yhtälöllä $\text{tan } \alpha=k$.
\(\require{color} \begin{align} \text{tan } \alpha&=k\\ \text{tan } \alpha&=2 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ \alpha&=63,434...^{\circ}\\ \alpha&\approx\underline{\underline{63,4^{\circ}}}&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
b) Suoran yhtälö saadaan yhtälöllä $y-y_0=k(x-x_0)$.
\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k(x-x_0) \\ y-4&=2(x-(-1)) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y-4&=2x+2&&\color{red}\text{(+1p)}\\ y&=2x+6 \end{align}\)
Vastaus: \(y=2x+6 \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Olkoon suorat $x+2y-7=0$ ja $y=3x$. Määritä
a) suorien leikkauspiste,
b) suorien välinen kulma.
Tutkaile tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään molempien suorien yhtälöt.
a) Ratkaistaan leikkauspiste yhtälöparilla.
\(\left\{\begin{matrix} &x&+2y&-7&=0 \\ &3x&-y& &=0 &&||\cdot2 \end{matrix}\right.\) $\color{red}\text{(+1p)}$
\(\left\{\begin{matrix} &x&+2y&-7&=0 \\ &6x&-2y& &=0 \end{matrix}\right.\)
Laskemalla yhtälön molemmat puolet yhteen saadaan
\(\require{color}\begin{align} 7x-7&=0\\ 7x&=7\\ x&=1&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Sijoitetaan $x=1$ jompaan kumpaan yhtälöistä.
\(\begin{align} y&=3x\\ y&=3\cdot1\\y&=3\end{align}\)
Vastaus: $(1,3)$ $\color{red}\text{(+1p)}$
b) Suorien kulmakertoimet ovat $k_1=-\tfrac12$ ja $k_2=3$. $\color{red}\text{(+1p)}$
\(\begin{align} \text{tan }\alpha&= \begin{vmatrix} \frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\frac{-\tfrac12-3}{1+(-\tfrac12)\cdot 3}\end{vmatrix}\\\\ &=\begin{vmatrix}\frac{-\tfrac72}{-\tfrac12}\end{vmatrix}=|7|=7\qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
\(\begin{align} \text{tan }\alpha&=7\\\alpha&=81,869...^\circ\\ \alpha&\approx\underline{\underline{81,9^\circ}}&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Olkoon pisteet $A(1,1)$ ja $B(9,3)$. Määritä laskemalla janan $AB$ keskinormaalin yhtälö.
Muodosta tilanteesta myös kuva GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään seuraavat komennot:
- A=(1,1)
- B=(9,3)
- jana[A,B]
- keskinormaali[A,B]
Janan keskipisteen koordinaatit ovat
\(\require{color} \begin{align} x_0 &= \frac{1+9}{2}=5 &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y_0 &= \frac{1+3}{2}=2 &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Janan kulmakerroin on
\(k=\dfrac{1-3}{1-9}=\dfrac{-2}{-8}=\dfrac14\quad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\),
joten janan keskinormaalin kulmakerroin on kohtisuoruusehdon $(k_1 \cdot k_2 = -1)$ mukaisesti $k_n=-4$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Janan keskinormaalin yhtälö on siten
\(\require{color} \begin{align} y-y_0&=k_n(x-x_0) \\y-2&=-4(x-5) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y-2&=-4x+20\\ y&=-4x+22 \end{align}\)
Vastaus: $y=-4x+22$ $\color{red}\text{(+1p)}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: