MAA4 testi3.1

Suositeltava osaamistaso: 
85%

a) Ratkaise yhtälö \(\big|3x+2 \big|=\big|x-2\big|\)

b) Määritä, kuinka kaukana suorien $x-y+4=0$ ja $y=-2x+1$ leikkauspiste on suorasta $y=x+1$.

(Tutki tilanteita myös graafisesti GeoGebran avulla:)

  • a)-kohdassa kirjoita syöttökenttään "y=abs(3x+2)" ja "y=abs(x-2)" (ilman lainausmerkkejä).
  • b)-kohdassa kirjoita kaikkien kolmen suoran yhtälöt syöttökenttään.

Pisteytysohje: 

a)

\(\require{color}\begin{align} &\big|3x+2\big| = \big|x-2\big|\\ \\ 3x+2=&x-2 \ \qquad \text{ tai }\quad & 3x+2&=-(x-2) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ 2x =&-4 &3x+2&=-x+2\\ x=&\underline{\underline{-2}}\qquad \color{red}\text{(+1p)} &4x&=0\\ & &x&=\underline{\underline{ 0 }} &&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

b) Määritetään suorien $x-y+4=0$ ja $y=-2x+1$ leikkauspiste yhtälöparin avulla:

\(\left\{\begin{matrix} y=&-2x+1\\ y=&x+4 \end{matrix}\right.\)

Merkitään $y=y$:

\(\require{color}\begin{align} -2x+1&=x+4\\ -3x&=3\\ x&=-1 \end{align}\)

Leikkauspisteen $x$-koordinaatti on $-1$. Ratkaistaan $y$-koordinaatti sijoittamalla $x=-1$ toiseen suorien yhtälöistä.

\(\require{color}\begin{align} y&=x+4\\ y&=-1+4\\y&=3 \end{align}\)

Suorien leikkauspiste on $(-1,3)$. $\color{red}\text{(+1p)}$

Pisteen $(-1,3)$ etäisyys suorasta $y=x+1$, eli suorasta $x-y+1=0$, on

\(\require{color}\begin{align} d&=\frac{\big|ax_0+by_0+c\big|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ & =\frac{\big|1\cdot (-1)+(-1) \cdot 3+1\big|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}&&\color{red}\text{(+1p)}\\\\ &=\frac{\big|-3\big|}{\sqrt{2}}=\underline{\underline{\frac{3}{\sqrt2}}}&&\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Määritä ympyrän $x^2+y^2+8x-2y+6=0$ keskipiste ja säde.

(Tutki tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla syöttämällä syöttökenttään "x^2+y^2+8x-2y+6=0")

Pisteytysohje: 

Muutetaan ympyrän yhtälö normaalimuodosta keskipistemuotoon.

\(\require{color}\begin{align} x^2+y^2+8x-2y+6&=0\\ x^2+8x\phantom{+161} +y^2-2y\phantom{+11}&=-6\\ x^2+8x\color{red}+16\color{black} +y^2-2y\color{red}{\ +1}\color{black}&=-6\color{red}{\ +16+1} &&\color{red}\text{(+2p)}\\ (x+4)^2+(y-1)^2&=11 &&\color{red}\text{(+2p)} \end{align}\)

Vastaus: Ympyrän keskipiste on $(-4,1)$ ja säde on $\sqrt{11}$. $\color{red}\text{(+2p)}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Määritä ympyrän $x^2+(y-1)^2=10$ pisteen $(3,2)$ kautta kulkevan tangentin yhtälö.

(Tutki tilannetta myös graafisesti GeoGebran avulla. Seuraavista komennoista on apua:)

  • f:x^2+(y-1)^2=10 (komennolla "f:" nimetään ympyrän yhtälö funktioksi f)
  • Tangentti[(3,2),f] (tällä piirtyy tangentti funktiolle f pisteeseen (3,2))

Pisteytysohje: 

Ympyrän keskipiste on $(0,1)$ ja ympyrän säde on $\sqrt{10}$. $\color{red}\text{(+1p)}$

Pisteen $(3,2)$ etäisyys ympyrän keskipisteestä on

\(\begin{align} &\sqrt{(3-0)^2+(2-1)^2}\\ =&\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10} \end{align}\)

Koska pisteen etäisyys keskipisteestä on yhtä suuri kuin säde, on piste ympyrän kehällä ja tangentteja on tasan yksi. $\color{red}\text{(+1p)}$

Lasketaan ympyrän keskipisteen ja pisteen $(3,2)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin:

\(\require{color}\begin{align}k=\dfrac{2-1}{3-0}=\dfrac{1}{3}&&\color{red}\text{(+1p)}\end{align}\)  

Koska tangentti on kohtisuorassa sädettä vastaan, tangentin kulmakerroin on $k_t=-3$ (koska $k \cdot k_t=\frac13 \cdot (-3)=-1$). $\color{red}\text{(+1p)}$

Tangentin yhtälö on siis

\(\require{color}\begin{align} y-2&=-3(x-3) &&\color{red}\text{(+1p)}\\ y-2&=-3x+9\\ y&=-3x+11 \end{align}\)

Vastaus: $y=-3x+11$. $\color{red}\text{(+1p)}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: