Ympyrä kulkee pisteiden $A(-5,0)$, $B(1,2)$ ja $C(-3,-2)$ kautta. Määritä ympyrän yhtälön normaalimuoto, keskipiste ja säde.
(Tutki tilannetta myös graafisesti GeoGebralla seuraavien komentojen avulla:)
- A=(-5,0)
- B=(1,2)
- C=(-3,-2)
- Ympyrä[A,B,C]
Ratkaistaan ympyrän yhtälö $x^2+y^2+ax+by+c=0$ sijoittamalla koordinaattipisteet yhtälöön:
\(\left\{\begin{matrix} (-5)^2+0^2+a \cdot (-5) +b \cdot 0+c&=0\\ 1^2+2^2+a \cdot 1 +b \cdot 2+c&=0\\(-3)^2+(-2)^2+a \cdot (-3) +b \cdot (-2)+c&=0 \end{matrix}\right.\qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
\(\left\{\begin{matrix} 25-5a+c&=0\\ 5+a+2b+c&=0\\13-3a-2b+c&=0 \end{matrix}\right.\)
Yhtälöryhmän pystyy ratkaisemaan useilla eri tavoilla. Alla on esitetty yksi vaihtoehto.
\(\left\{\begin{matrix} a=&\dfrac15 c+5 \\b=&-\dfrac12a-\dfrac12c-\dfrac52\\c=&3a+2b-13 \end{matrix}\right. \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Sijoitetaan kaksi alempaa yhtälöä ylimpään yhtälöön.
\(\require{color}\begin{align} c=&3\left(\dfrac15c+5\right)+2\left(-\dfrac12a-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&3\left(\dfrac15c+5\right)+2\left(-\dfrac12\left(\dfrac15c+5\right)-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15+2\left(-\dfrac{1}{10}c-\dfrac52-\dfrac12c-\dfrac52\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15+2\left(-\dfrac{6}{10}c-5\right)-13\\ c=&\dfrac35c+15-\dfrac{6}{5}c-10-13\\ c=&-\dfrac35c-8\\ \dfrac85c=&-8\\ c=&-5 \qquad\color{red}\text{(+1p)}\end{align}\)
Sijoitetaan $c=-5$:
\(\begin{align}a=&\dfrac15 \cdot (-5) +5\\ a=&4 \end{align}\)
Ratkaistaan $b$:
\(\begin{align} b=&-\dfrac12 \cdot 4 -\dfrac12 \cdot (-5)- \dfrac52\\ b=&-2+\dfrac52-\dfrac52\\ b=&-2 \end{align}\)
Ympyrän yhtälö on siis normaalimuodossa $x^2+y^2+4x-2y-5=0$ $\color{red}\text{(+1p)}$. Ratkaistaa keskipiste ja säde muokkaamalla yhtälö keskipistemuotoon.
\(\require{color}\begin{align} x^2+y^2+4x-2y-5=&0\\ x^2+4x\color{blue}+4 \color{black}+y^2-2y\color{blue}+1 \color{black}=&5\color{blue}+4+1 \color{black}\\ (x+2)^2+(y-1)^2=&10&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Vastaus: Keskipiste on $(-2,1)$ ja säde on $\sqrt{10}$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Paraabeli kulkee pisteiden $(1,5)$, $(-1,0)$ ja $(2,15)$ kautta. Määritä paraabelin yhtälö.
Paraabelin yhtälö on muotoa $y=ax^2+bx+c$.
\(\left\{\begin{matrix} 5=&a \cdot 1^2 +b \cdot 1+c\\ 0=&a \cdot (-1)^2 +b \cdot (-1)+c\\ 15=&a \cdot 2^2 +b \cdot 2+c \end{matrix}\right.\qquad \require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
\(\left\{\begin{matrix} 5=&a+b+c&&(1)\\ 0=&a-b +c&&(2)\\ 15=&4a+2b+c&&(3) \end{matrix}\right.\)
Yhtälöryhmän pystyy ratkaisemaan useilla eri tavoilla. Alla on esitetty yksi vaihtoehto.
Laskemalla yhtälöt $(1)$ ja $(2)$ yhteen saadaan aikaan yhtälö $5=2a+2c$ $(4)$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Eliminoidaan $b$ myös yhtälöparista $(2)$ ja $(3)$:
\(\left\{\begin{matrix} 0=&a-b +c&&|| \cdot2\\ 15=&4a+2b+c\end{matrix}\right.\)
\(\underline{\left\{\begin{matrix} 0=&2a-2b +2c\\ 15=&4a+2b+c\end{matrix}\right.} \\ \quad 15=6a+3c\qquad(5) \qquad\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
Yhtälöistä $(4)$ ja $(5)$ saadaan:
\(\left\{\begin{matrix} 15&=&6a+3c&&\\ 5&=&2a+2c&&|| \cdot(-3)\end{matrix}\right.\\ \underline{\left\{\begin{matrix} 15&=&6a+3c&&\\ -15&=&-6a-6c\end{matrix}\right.} \\ \begin{align} \quad 0=&-3c\\c=&0 &&&&\require{color}\color{red}\text{(+1p)} \end{align}\)
Sijoitetaan $c=0$ yhtälöön (4):
\(\begin{align} 5=&2a+2c\\ 5=&2a+2 \cdot 0\\ 5=&2a\\\\ a=&\frac52 &&\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\end{align}\)
Sijoitetaan $a=\dfrac52$ ja $c=0$ yhtälöön (2):
\(\begin{align} 0=&a-b+c\\ 0=&\frac52-b+0&&||+b\\\\ b=&\frac52 \end{align}\)
Vastaus: Paraabelin yhtälö on $y=\dfrac52 x^2+\dfrac52 x$. $\color{red}\text{(+1p)}$
Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: