FY5 t6.1

Hitausmomentti

Pyörimisen liikeyhtälö

Pyörimismäärä

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Pyörivän autonrenkaan hitausmomentti on sitä suurempi, mitä

a. nopeammin rengas pyörii,

b. raskaampi keskiö on verrattuna renkaan kehään,

c. raskaampi renkaan kehä on verrattuna keskiöön,

d. pienempi renkaan massa on.

Perustele vastauksesi.

Pisteytysohje: 

Kappaleen hitausmomentti akselin A suhteen määritellään \(J = \sum m_i r_i^2\)

Renkaan pyörimisnopeus ei vaikuta hitausmomentin suuruuteen eli a-kohta on väärin.

Renkaan massan pienentäminen pienentää kokonaishitausmomenttia hitausmomentin määritelmän \(J = \sum m_i r_i^2\) mukaisesti eli d-kohta on väärin.

 

Jos keskiö ajatellaan umpinaiseksi sylinteriksi, joka olisi pyörimisakselin suuntainen niin

keskiön hitausmomentti olisi \(J_{1}=\dfrac{1}{2}m_1r_1^2\). Keskiön massa on keskittynyt lähelle pyörimisakselia.

 

Jos rengas ajatellaan ohutseinäiseksi putkeksi  (tai ympyrälevyksi), joka olisi pyörimisakselin suuntainen

niin pyörän hitausmomentti olisi \(J_2=m_2r_2^2\) \(\Big(J_{2}=\dfrac{1}{2}m_2r_2^2\Big)\).  

 

  • Hitausmomentin on suoraan verrannollinen kappaleen etäisyyden neliöön pyörimisakselista eli \(J \sim r^2\)\(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
  • Hitausmomentti on suoraan verrannollinen kappaleen massaan eli \(J \sim m\)
  • Kehän massa on keskittynyt kauemmaksi pyörimisakselista kuin keskiön massa. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)
    • Kehän massa vaikuttaa kokonaishitausmomenttiin enemmän kuin keskiön massa 

Eli mitä raskaampi renkaan kehä on verrattuna keskiöön, niin sitä suurempi on renkaan hitausmomentti.   \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)

Edellisen nojalla  c-kohta on oikein. \(\color{Red}{\text{(+2p)}}\)

 

 

 

 

 

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Opiskelija istuu herkästi pyörivällä työtuolilla.

Miten opiskelijan pyörimisnopeus muuttuu, kun hän ojentaa kätensä ja jalkansa suoriksi? Miksi?

 

Pisteytysohje: 

Opiskelija muuttaa hitausmomenttiaan pyörimisakselinsa suhteen, kun hän ojentaa kätensä ja jalkansa suoriksi.

Oletetaan, että opiskelijan pyörimismäärä säilyy. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

\(\begin{align} L_0&=L_1 \\ J_0\omega_0 &=J_1\omega_1 \\ J_0 2 \pi n_0 &=J_1 2 \pi n_1 \\ J_0n_0 & = J_1n_1 \qquad &&\color{red}{\text{(+1p)}} \\ n_1&=\dfrac{J_0}{J_1}n_0\end{align}\)

Opiskelijan siirtäessä käsiään ja jalkojaan kaueammaksi pyörimisakselistaan hän kasvattaa hitausmomenttiaan. \(\color{red}{\text{(+1p)}}\)

Koska hitausmomentti kasvaa alkuperäiseen hitausmomenttiin verrattuna, niin \(J_1 >J_0\).

Tästä edelleen saadaan

 \(\begin{align} n_1& = \dfrac{J_0}{J_1}n_0 &&||\frac{J_0}{J_1}<1 \\ \Rightarrow n_1& < n_0 \end{align} \)

Opiskelijan pyörimisnopeus pienenee, kun hänen hitausmomenttinsa kasvaa pyörimismäärän säilymislain nojalla. \(\color{red}{\text{(+3p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Homogeeninen sylinteri pyörii pohjan keskipisteiden kautta piirretyn akselin suhteen nopeudella 0,75 m/s.

Sylinterin massa on 21 kg ja säde 25 cm.

Kuinka suuri momentti tarvitaan sylinterin pysäyttämiseen 7,0 sekunnissa?

 

Pisteytysohje: 

Kirjataan lähtöarvot

\(m=21 \text{ kg}, \ r=0,25 \text{ m}, \ v=0,75 \text{ m/s},\ \Delta t=7,0 \text{ s}\)

Umpinaisen sylinterin hitausmomentti 

\(J=\dfrac{1}{2}mr^2\)

Kulmakiihtyvyyden määritelmä

\(\alpha = \dfrac{\Delta \omega}{\Delta t}\)

Ratanopeuden ja kulmanopeuden välinen yhteys

\(v = \omega r, \text{ josta } \omega = \dfrac{v}{r}\).

Muutetaan ratanopeudet kulmanopeuksiksi.

\(\omega_0 = \dfrac{0,75 \text{ m/s}}{0,25 \text{ m}}=3,0 \text{ rad/s} \\ \omega_1 = 0,0 \text{ m/s} = 0,0 \text{ rad/s}\) \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Ratkaistaan pyörimisen liikeyhtälöstä sylinteriin vaikuttavan momentin suuruus. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(\begin{align}\sum M &= J \alpha &&​\color{Red}{\text{(+1p)}}​ \\ M&=J\alpha \qquad &&||J=\frac{1}{2}mr^2\\ M&=\dfrac{1}{2}mr^2 \cdot \alpha &&||\alpha=\frac{\Delta \omega}{\Delta t} \\ M&=\dfrac{1}{2}mr^2 \cdot \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} &&\color{Red}{\text{(+1p)}}\end{align} \)

Sijotetaan tunnetut lukuarvot

\(M=\dfrac{1}{2}\cdot 21 \text{ kg} \cdot (0,25 \text{ m})^2 \cdot \dfrac{-3,0 \text{ rad/s}}{7,0 \text{ s}} \qquad \color{Red}{\text{(+1p)}}\)

\(M \approx -0.281 \text{ Nm}\)

Vastaus:

Sylinterin pysäyttämiseen 7,0 sekunnissa tarvitaan noin 0,28 newtonmetrin suuruinen momentti, jonka suunta on pyörimisen suunnalle vastakkainen. \(\color{Red}{\text{(+1p)}}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: