MAB4 t1.1 (EYL)

Polynomifunktio ja muutosnopeus

Suositeltava osaamistaso: 
80%

Olkoon funktio $f(x)=x^2+3x-4$.

a) Laske funktion $f$ arvo, kun $x=-2$.

b) Ratkaise, millä $x$:n arvoilla $f(x)=14$.

c) Ratkaise piirtämällä, missä pisteissä $f$ leikkaa koordinaattiakselit. 

b) Ratkaise laskemalla, missä pisteissä $f$ leikkaa koordinaattiakselit.

Pisteytysohje: 

a)\(\begin{align} f(-2)&=(-2)^2+3\cdot (-2)-4\\ &= 4 - 6 - 4 \\ &=-6 \end{align}\) $\color{Red}{(+1\text{ p})}$

b) \(\begin{align} x^2+3x-4&=14\\ x^2+3x-4-14&=0\\ x^2+3x-18 &= 0 \end{align}\)

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla:

\(\begin{align} x& = {-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-18)} \over 2\cdot 1} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{9+72}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{81}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm 9}{2} \end{align}\)

\(\begin{align} x&=\frac{-3+9}{2} \\ &=\frac{6}{2} \\ &= 3 \end{align}\) tai \(\begin{align} x&=\frac{-3-9}{2}\\ &=\frac{-12}{2} \\ &=-6 \end{align}\)

Vastaus: $x=-6$ tai $x=3$  ​$\color{Red}{(+1\text{ p})}$

c) Piirretään funktio $f$ koordinaatistoon ja katsotaan, missä pisteissä se leikkaa koordinaattiakselit.

Funktio $f$ leikkaa siis $x$-akselin pisteissä $(-4,0)$ ja $(1,0)$ ja $y$-akselin pisteessä $(0,4)$. ​$\color{Red}{(+1\text{ p})}$

d) Funktio $f(x)=x^2+3x-4$ leikkaa $x$-akselia, kun $f(x)=0$, joten ratkaistaan yhtälö

 \(\begin{align} x^2+3x-4=0 \end{align}\)

\(\begin{align} x &= {-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot (-4)} \over 2\cdot 1} \\ & = {-3 \pm \sqrt{9+16}} \over 2 \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} \\ &=\frac{-3\pm5}{2} \end{align}\)

\(\begin{align} x&=\frac{-3+5}{2} \\ &=\frac{2}{2} \\ &= 1 \end{align}\) tai \(\begin{align} x&=\frac{-3-5}{2} \\ &= \frac{-8}{2} \\ &= -4 \end{align}\)​$\color{Red}{(+1\text{ p})}$

Funktio leikkaa $y$-akselin, kun $x=0$. Lasketaan siis funktion arvo, kun $x=0$:

\(\begin{align} f(0)&=0^2+3\cdot 0 -4 \\ &= 0 + 0 -4 \\ &= -4 \end{align}\)​$\color{Red}{(+1\text{ p})}$

Vastaus: funktio $f$ leikkaa $x$-akselin pisteissä $(-4,0)$ ja $(1,0)$ ja $y$-akselin pisteessä $(0,-4)$ ​$\color{Red}{(+1\text{ p})}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Santtu lähtee pururadalle juoksulenkille. Lenkin aikana hän pysähtyy harjoittelemaan ulkokuntosalille ja jatkaa sen jälkeen matkaa.

a) Kuinka pitkän lenkin Santtu tekee?

b) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) ensimmäisen 20 minuutin ajan?

c) Kuinka kauan Santtu viipyy ulkokuntosalilla?

d) Kuinka pitkän matkan Santtu juoksee ulkokuntosalilla käynnin jälkeen?

e) Mikä on Santun keskinopeus (km/h) koko lenkin aikana, jos pysähdystä ulkokuntosalilla ei oteta huomioon? 

Pisteytysohje: 

a) Lenkin pituus on 7 km. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

b) Santtu kulkee ensimmäisen 20 minuutin aikana 2 km. Muuten aika tunneiksi: $20\text{ min} = \frac{20}{60}\text{ h}=\frac{1}{3}\text{ h}$.

Lasketaan keskinopeus: $\frac{2 \text{ km}}{\frac{1}{3}\text{ h}}=6\text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

c) Santtu ei etene aikavälillä 20 - 40 min, joten hän on ulkokuntosalilla $40 \text{ min} - 20 \text{ min}=20 \text{ min}$.$\color{Red}{\text{(+1p)}}$

d) Ulkokuntosali sijaitsee 2 km päässä aloituspaikasta ja koko lenkin pituus oli 7 km, joten ulkokuntosalin jälkeen matkaa on jäljellä $7 \text{ km} - 2 \text{ km} = 5 \text{ km}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

e) Santulla menee koko lenkkiin aikaa 80 minuuttia, josta hän on pysähdyksissä 20 minuuttia. Siten Santtu juoksee $80 \text{ min}-20 \text{ min}=60 \text{ min} = 1 \text{ h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

Koska lenkki oli 7 km pitkä, on Santun keskinopeus koko matkalla $\frac{7 \text{ km}}{1 \text{ h}}=7 \text{ km/h}$. $\color{Red}{\text{(+1p)}}$

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

(Tämä tehtävä suositellaan tehtäväksi tietokoneella tai tablet-laitteella.)

Tutki alla olevien liukukytkimien avulla funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ kuvaajan muotoa muuttujien $a$, $b$ ja $c$ eri lukuarvoilla.

a) Kuvaile sanallisesti, miten muuttujien $a$, $b$ ja $c$ lukuarvon muuttaminen vaikuttaa kuvaajaan muotoon tai sijaintiin.

b) Ratkaise graafisesti (liikuttamalla punaista pistettä käyrällä) yhtälö \(3=x^2−x+1\).

c) Määritä graafisesti $f(−1)$, kun \(f(x)=−2x^2+3x+5\).

Pisteytysohje: 

a) 

  • Muotoa $f(x)=ax^2+bx+c$ olevan funktion kuvaaja on paraabeli.
  • ​Toisen asteen termin kerroin $a$ vaikuttaa paraabelin aukeamissuuntaan. Kun $a>0$, paraabeli on ylöspäin aukeava, ja kun $a<0$, paraabeli on alaspäin aukeava\(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
  • Ensimmäisen asteen termin kerroin $b$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin sekä pysty- että sivusuunnassa. Vakiotermi $c$ vaikuttaa paraabelin sijaintiin vain pystysuunnassa. \(\require{color}\color{red}\text{(+1p)}\)
  • Havaitaan, että paraabeli leikkaa $y$-akselin aina pisteessä $(0,c)$.

b) Kuvaajan avulla havaitaan, että yhtälön $3=x^2−x+1$ ratkaisu on \(x\approx-1\)tai \(x\approx2\)\(\require{color}\color{red}\text{(+2p)}\)


 

c) Kuvaajan avulla havaitaan, että funktion $f(x)=−2x^2+3x+5$ arvo \(f(-1)\approx0\)\(\require{color}\color{red}\text{(+2p)}\)

Pisteytysohjeen mukaiset pisteet
Ymmärryksen arviointi
Navigointi

Tekemäsi itsearvion pohjalta tuloksesi prosentteina on: